已知B1，B2為橢圓C1：＋y2＝1(a＞1)短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，△B1FB2為正三角形，

(I)求橢圓C1的方程；

(II)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2：－1上，C2在點(diǎn)P處的切線與橢圓C1交于A、C兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，求AC的直線方程．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵，設(shè)

　　∵為正三角形

　　∴　　2分

　　∴

　　∴橢圓的方程是　　4分

　　(Ⅱ)方法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

　　∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

　　∴在點(diǎn)P處的切線的方程為：　　6分

　　代入橢圓的方程得：

　　即：(*)　　8分

　　設(shè)，有

　　∵P是AC的中點(diǎn)∴　　11分

　　得：　解得：

　　或　　13分

　　把代入(*)得：，沒有兩個(gè)交點(diǎn)；

　　把代入(*)得：，，有兩個(gè)交點(diǎn)　　14分

　　所以直線AC的方程是：　　15分

　　方法二：設(shè)

　　∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

　　∴直線AC的斜率　　6分

　　∵A，C在橢圓上，

　　∴(1)－(2)得：

　　9分

　　∴直線AC的斜率

　　又∵得解得：或　　13分

　　當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AC與橢圓相切，舍去；

　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，顯然在橢圓內(nèi)部，

　　所以直線AC的方程是：　　15分


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•通州區(qū)一模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
4
5
，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，B1，B2為橢圓C短軸的兩端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上．且△MF1F2的周長為18．
（I）求橢圓C的方程；
（II）當(dāng)M與B1，B2不重合時(shí)，直線B1M，B2M分別交x軸于點(diǎn)K，H．求
OH
•
OK
的值；
（III）過點(diǎn)M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、Q．當(dāng)點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求|PQ|的最小值；并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•溫州一模）已知B1，B2為橢圓C1：
x2
a2
+y2=1(a＞1)短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，△B1FB2為正三角形，
（I）求橢圓C1的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2：y=
x2
4
-1上，C2在點(diǎn)P處的切線與橢圓C1交于A、C兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，求AC的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年北京市通州區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，B1，B2為橢圓C短軸的兩端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上．且△MF1F2的周長為18．
（I）求橢圓C的方程；
（II）當(dāng)M與B1，B2不重合時(shí)，直線B1M，B2M分別交x軸于點(diǎn)K，H．求的值；
（III）過點(diǎn)M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、Q．當(dāng)點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求|PQ|的最小值；并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年浙江省溫州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知B1，B2為橢圓C1：短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，△B1FB2為正三角形，
（I）求橢圓C1的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2：y=上，C2在點(diǎn)P處的切線與橢圓C1交于A、C兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，求AC的直線方程．

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