Question

【題目】已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）
（1）若f（x）≥g（x）對(duì)于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且x1∈（0， ），若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：）f（x）≥g（x）對(duì)于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，x＞0a≤ ，x＞0．

令u（x）= ，x＞0，則u′（x）=1﹣ = ，

當(dāng)x=1時(shí)，x2+lnx﹣1=0；當(dāng)x＞1時(shí)，u′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)u（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，u′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)u（x）單調(diào)遞減．

因此當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)u（x）取得極小值即最小值，u（1）=1．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1]

（2）解：由題意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．則 = （x＞0），

所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且 ，

又∵ ，∴ ∈（1，+∞），且 ，（i=1，2），

而h（x1）﹣h（x2）= ﹣ = ﹣

= + = ﹣ + = ，（x2＞1）

設(shè)u（x）= （x＞1），則u′（x）= ≥0，

∴u（x）＞u（1）= ，即h（x1）﹣h（x2）＞ 恒成立，

因此 ．

∴實(shí)數(shù)m的最大值為 ﹣ln2

【解析】（1）f（x）≥g（x）對(duì)于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，x＞0a≤ ，x＞0．令u（x）= ，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．（2）由題意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．則 = （x＞0），所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ， 且 ，可得 ∈（1，+∞），且 ，（i=1，2），而h（x1）﹣h（x2）= ，（x2＞1）設(shè)u（x）= （x＞1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．