Question

已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)p，使得a_p=b_n²成立．

Answer 1

【答案】分析：利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，關(guān)鍵要理解a_n=4n+5表示的是被4除余1的數(shù)，進(jìn)行拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化的技巧．
解答：解：a_n=4n+5=4（n+1）+1，表示的是被4除余1的數(shù)，
而b_n²=9ⁿ=（8+1）ⁿ=C_n8ⁿ+C_n¹8^n-1+…+C_n^n-1•8+1，展開式除最后一項(xiàng)之外均為8也為4的倍數(shù)，
因此b_n²表示被4除余1的數(shù)，
因此，對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)p，使得a_p=b_n²成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查整數(shù)之間關(guān)系的理解和認(rèn)識(shí)，考查二項(xiàng)式展開式的理解和運(yùn)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，關(guān)鍵要尋找已知等式兩邊數(shù)的特性，進(jìn)行探究性問題的求解．