已知函數(shù)f(x)=2x2-(k2+k+1)x+15,g(x)=k2x-k,其中k∈R.
(1)若f(x)+g(x)≥0,對x∈[1,4)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(2)設函數(shù)q(x)=
g(x),x≥0
f(x),x<0
是否存在實數(shù)k,對任意給定的非零實數(shù)x1,存在唯一的非零實數(shù)x2(x2≠x1),使得q(x2)=q(x1)?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
考點:函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(1)將問題轉化為k≤
2x2-x+15
x+1
對x∈[1,4)恒成立,令p(x)=
2x2-x+15
x+1
,(x∈[1,4]),通過求導得出函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值,進而得出答案;
(2)根據(jù)q(x)的解析式可得k≠0,當x≥0時,求得q(x)的值域當x<0時,求得q(x) 的值域,①當x2>0時,
可得k≤-15;②當x2<0時,可得k≥-15,結合①②可得k的值.
解答: 解:(1)由題意可得 f(x)+g(x)=2x2-(k+1)x+15-k≥0對x∈[1,4)恒成立,
?k≤
2x2-x+15
x+1
對x∈[1,4)恒成立,
令p(x)=
2x2-x+15
x+1
,(x∈[1,4]),
∴p′(x)=
2x2+4x-16
(x+1)2
,
令p′(x)>0,解得:2<x≤4,
令p′(x)<0,解得:1≤x<2,
∴p(x)在[1,2)遞減,在(2,4]遞增,
∴p(x)min=p(2)=7,
∴k≤7.
(2)函數(shù)設函數(shù)q(x)=
g(x),x≥0
f(x),x<0

即 q(x)=
k2x-k,x≥0
2x2-(k2+k+1)x+15,x<0
,
顯然,k=0不滿足條件,故k≠0.
當x≥0時,q(x)=k2x-k∈[-k,+∞).
當x<0時,q(x)=2x2-(k2+k+1)x+15∈(15,+∞).
記A=[-k,+∞),記 B=(15,+∞).
①當x2>0時,q(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),要使q(x2)=q(x1),則x1<0,且A?B,
故-k≥15,解得 k≤-15.
②當x2<0時,q(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),要使q(x2)=q(x1),則x1>0,且B?A,
故-k≤15,解得 k≥-15.
綜上可得,k=-15滿足條件.
點評:本題主要考查函數(shù)恒成立問題,導數(shù)的應用,考查函數(shù)的單調性的應用,體現(xiàn)了化歸與轉化、以及分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

關于x的不等式(m-2)x2-mx-1≥0的解集為{x|x1≤x≤x2},且1≤|x1-x2|≤3,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某公司有價值a萬元的一條流水線,要提高該流水線的生產(chǎn)能力,就要對其進行技術改造,從而提高產(chǎn)品附加值,改造需要投入,假設附加值y萬元與技術改造投入x萬元之間的關系滿足:
(1)y與a-x和x的乘積成正比;
(2)x=
a
2
時,y=a2;
(3)0≤
x
2(a-x)
≤t,其中為常數(shù),且t∈[0,1].
求:(Ⅰ)設y=f(x),求f(x)表達式,并求y=f(x)的定義域;
(Ⅱ)求出附加值y的最大值,并求出此時的技術改造投入.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k為常數(shù),(k∈R)
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(2)=3,
①求函數(shù)f(x)在[-1,4]上的最大值和最小值;
②若f(x)<mx+7對任意x∈R上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當k≥0時,討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的單調性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

解分式方程:
2x
x+2
-
3
x-2
=2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
mx
x2+n
(m,n∈R)在x=1處取到極值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)設函數(shù)g(x)=lnx+
a
x
,若對任意的x1∈[-1,1],總存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+
7
2
,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2,
(Ⅰ)對一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當a=-1時,求函數(shù)f(x)在[m,m+3](m>0)上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(1,m+1),向量
b
=(0,2),且(
a
-
b
)⊥
a

(1)求實數(shù)m的值;
(2)求向量
a
b
的夾角θ的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

解無理方程:
3x+1
-
x+4
=1的解為
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案