Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+k，g（x）=-2x²-2kx-5，
（1）若f（x）＞g（x）在[0，2]上恒成立，求k的范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，當(dāng)a+b≤2時(shí)，使函數(shù)f（x）在定義域[a，b]上的值域恰為[a，b]，若存在，求出k的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）-g（x）=3x²-2x+2kx+k+5＞0，即k＞-

3x2-2x+5

2x+1

，根據(jù)對構(gòu)函數(shù)在所給的區(qū)間上的值域，得到當(dāng)式子恒成立時(shí)，k要大于函數(shù)式的最大值．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，當(dāng)a+b≤2時(shí)，使函數(shù)f（x）在定義域[a，b]上的值域恰為[a，b]，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）-g（x）=x²-2x+k-（-2x²-2kx-5）=3x²-2x+2kx+k+5＞0，
∴（1+2x）k＞-3x²+2x-5
∵f（x）＞g（x）在[0，2]上恒成立，
∴1+2x＞0
∴k＞-

3x2-2x+5

2x+1

=-[

3

4

（2x+1）+

27

4

×

1

2x+1

-

5

2

]≥-[2

3(2x+1) 4 • 27 4(2x+1)

-

5

2

]=-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取等號．
∴k＞-2
（2）①若a＜b≤1，在[a，b]上單調(diào)遞減，
則

b=k-2a+a2 (1) a=k-2b+b2 (2)

，（1）-（2）得a+b=1，即b=1-a，
∴

1-a=k-2a+a2 (3) 1-b=k-2b+b2 (4)

，即

k-1-a+a2=0 (5) k-1-b+b2=0 (6)

，
∴方程k-1-x-x²=0在x≤1上有兩個(gè)不同的解，此時(shí)k∈[1，

5

4

）
②若a≤1≤b且1-a≥b-1，a+b≤2
在[a，b]上不單調(diào)時(shí)，
a=f（x）_min=f（1）=k-1，b=k-2a+a²，b≤2-a
b=k-2a+a²≤a+1-2a+a²≤2-a，
∴a∈[-1，0]，
∴k∈[0，1]綜上得：k∈[1，

5

4

）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是對于所給的函數(shù)式的分離參數(shù)，寫出要求的參數(shù)，再利用函數(shù)的最值解決．本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．