【答案】
分析:根據(jù)開集的定義逐個驗(yàn)證選項(xiàng),即可得到答案,:①:A={(x,y)|x
2+y
2=4}表示以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓,以圓上的點(diǎn)為圓心正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面不可能在該圓上,故不是開集,②是集A中的任一點(diǎn)(x
,y
),則該點(diǎn)到直線的距離為d,取r=d,滿足條件,故是開集;③在曲線x+y|=2任意取點(diǎn)(x
,y
),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面,均不滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184004064688425/SYS201310241840040646884011_DA/0.png)
,故該集合不是開集;④該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x
,y
),則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離為d,取r=d,則滿足,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184004064688425/SYS201310241840040646884011_DA/1.png)
,故該集合是開集.
解答:解:①:A={(x,y)|x
2+y
2=4}表示以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓,
則在該圓上任意取點(diǎn)(x
,y
),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面,均不滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184004064688425/SYS201310241840040646884011_DA/2.png)
故①不是開集;
②A={(x,y)|x+y-2>0}平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x
,y
),則該點(diǎn)到直線的距離為d,取r=d,則滿足,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184004064688425/SYS201310241840040646884011_DA/3.png)
,故該集合是開集;
③A={(x,y)||x+y|≤2},在曲線x+y|=2任意取點(diǎn)(x
,y
),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面,均不滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184004064688425/SYS201310241840040646884011_DA/4.png)
,故該集合不是開集;
④A=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184004064688425/SYS201310241840040646884011_DA/5.png)
表示以點(diǎn)(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184004064688425/SYS201310241840040646884011_DA/6.png)
)為圓心,1為半徑除去圓心和圓周的圓面,在該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x
,y
),則該點(diǎn)到
圓周上的點(diǎn)的最短距離為d,取r=d,則滿足,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184004064688425/SYS201310241840040646884011_DA/7.png)
,故該集合是開集.
故選C.
點(diǎn)評:此題是基礎(chǔ)題.考查學(xué)生的閱讀能力和對新定義的理解,如果一個集合是開集,則該集合表示的區(qū)域應(yīng)該是不含邊界的平面區(qū)域.