(本小題14分)已知函數(shù).

(1)若,求曲線處切線的斜率;

(2)求的單調區(qū)間;

(3)設,若對任意,均存在,使得,求的取值范圍。

 

【答案】

 (Ⅰ)曲線處切線的斜率為.

(Ⅱ)函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.

(Ⅲ).

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

(1)本試題主要是考查了導數(shù)的幾何意義的運用。

(2)求解導數(shù),根據(jù)導數(shù)的符號來求解函數(shù)的單調增減區(qū)間。

(3)根據(jù)已知條件可知轉換為函數(shù)的最值之間的關系,進而求解得到結論。

解:(Ⅰ)由已知,…………………………(2分)

.故曲線處切線的斜率為.……………(4分)

(Ⅱ).………………………(5分)

①當時,由于,故,

所以,的單調遞增區(qū)間為.…………………………(6分)

②當時,由,得.在區(qū)間上,,在區(qū)間,

所以,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.…(8分)

(Ⅲ)由已知,轉化為.……………………………(9分)

…………………………………………(10分)

由(Ⅱ)知,當時,上單調遞增,值域為,故不符合題意.

(或者舉出反例:存在,故不符合題意.)……………(11分)

時,上單調遞增,在上單調遞減,

的極大值即為最大值,,……(13分)

所以解得. ……………………(14分)

 

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對稱

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,其中表示函數(shù)在D上的最小值,表示函數(shù)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得對任意的成立,則稱函數(shù)上的“k階收縮函數(shù)”

(1)若,試寫出,的表達式;

(2)已知函數(shù)試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,

如果是,求出對應的k,如果不是,請說明理由;

已知,函數(shù)是[0,b]上的2階收縮函數(shù),求b的取值范圍

 

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