Question

13．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且x³f（x）+x³f（-x）=0，若對(duì)任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x²f'（x）＜2，則不等式x³f（x）-8f（2）＜x²-4的解集為（　　）

• A． （-2，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-4，4）
• D． （-∞，-4）∪（4，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³f（x）-2x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：令h（x）=x³f（x）-2x，
則h′（x）=x[3xf（x）+x²f'（x）-2]，
若對(duì)任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x²f'（x）＜2，
則h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立，
故h（x）在[0，+∞）遞減，
若x³f（x）+x³f（-x）=0，
則h（x）=h（-x），
則h（x）在R是偶函數(shù)，h（x）在（-∞，0）遞增，
不等式x³f（x）-8f（2）＜x²-4，
即不等式x³f（x）-x²＜8f（2）-4，
即h（x）＜h（2），
故|x|＞2，解得：x＞2或x＜-2，
故不等式的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．