Question

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為（　�。�

• A、

  1

  6

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：幾何體是一個三棱錐，三棱錐的底面是一條直角邊為1，斜邊為b的直角三角形，另一條直角邊是

b2-1

，三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，由勾股定理可知這條邊是

a2-1

，表示出體積，根據(jù)不等式基本定理，得到最值．

解答：解：由三視圖知，幾何體是一個三棱錐，
三棱錐的底面是一條直角邊為1，斜邊為b的直角三角形，
∴另一條直角邊是

b2-1

，
三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，由勾股定理可知這條邊是

a2-1

，
∴幾何體的體積是V=

1

3

×

1

2

b2-1

×

a2-1

∵在側(cè)面三角形上有a²-1+b²-1=6，
∴V≤

1

3

×

1

2

×

b2-1+a2-1

2

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)側(cè)面的三角形是一個等腰直角三角形，
故選D．

點評：本題考查由三視圖求幾何體的體積，考查基本不等式的應(yīng)用，本題是一個比較綜合的題目，注意創(chuàng)造基本不等式的使用條件，得到結(jié)果．