Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）一個周期的圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若f（α）+f（α-）=，且α為△ABC的一個內角，求sinα+cosα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數的圖象，求出A、T，求出ω，函數x=-時，y=0，結合-＜φ＜求出φ，然后求函數f（x）的表達式；
（2）利用f（α）+f（α-）=，化簡出（sinα+cosα）²，2sinαcosα=＞0且α為△ABC的一個內角，確定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．
解答：解：（1）從圖知，函數的最大值為1，則A=1．
函數f（x）的周期為T=4×（+）=π．
而T=，則ω=2．又x=-時，y=0，
∴sin[2×（-）+φ]=0．
而-＜φ＜，則φ=，
∴函數f（x）的表達式為f（x）=sin（2x+）．

（2）由f（α）+f（α-）=，得
sin（2α+）+sin（2α-）=，
即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=．
∴（sinα+cosα）²=1+=．
∵2sinαcosα=＞0，α為△ABC的內角，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=．
點評：本題是基礎題，考查函數解析式的求法，根據三角函數式，確定函數的取值范圍，是解題的難點，考查學生視圖能力，計算能力．