Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）
（1）若將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到的圖象恰好關(guān)于點(diǎn)（

π

4

，0）對稱，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[

b

4

π，

3b

8

π]（b∈N^*）上為減函數(shù)，試求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到的解析式，利用x=

π

4

時函數(shù)值為0，求出a的表達(dá)式，然后求出最小值．
（2）求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，[

b

4

π，

3b

8

π]是減區(qū)間的子集，得到不等式組，求出實(shí)數(shù)b的值．

解答：解：（1）將函數(shù)f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)的圖象，
向左平移a個單位長度得到函數(shù)
y=

2

sin[2(x+a)+

π

4

]=

2

sin(2x+2a+

π

4

)的圖象．（2分）
∵函數(shù)y=

2

sin(2x+2a+

π

4

)的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

4

，0)對稱，
∴2×

π

4

+2a+

π

4

=kx(k∈Z)，∴a=-

3π

8

+

kπ

2

(k∈Z)．
∵a＞0∴k＞

3

4

．
∵k∈Z，∴當(dāng)k=1時，amin=

π

8

．（6分）
（2）∵y=

2

sin(2x+

π

4

 )
在[

b

4

π，

3

8

bπ]（b∈N*）上為減函數(shù)，
又y=

2

sin(2x+

π

4

)的遞減區(qū)間為
[kπ+

π

8

，kπ +

5π

8

]k∈Z，
∴kπ+

π

8

≤

b

4

π≤

3b

8

π≤kπ+

5π

8

．（8分）
∴

1

2

+4k≤ b≤

5

3

+

8

3

k．
由

1

2

+4k ≤

5

3

+

8

3

k，得k≤

7

8

．
又b∈N*，∴k只能取0．∴

1

2

＜b＜

5

3

，b=1．（12分）

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移，奇偶性、單調(diào)性，考查分析問題解決問題的能力，集合的基本關(guān)系．