Question

已知函數f（x）=ln（ax+1）-ax．
（1）當a=1時，試討論函數f（x）的單調性；
（2）若g（x）=f（x）+x³-x²在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）當a=1時，先求函數f（x）=ln（x+1）-x的定義域，再求導f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

；從而判斷函數的單調性；
（2）化簡g（x）=f（x）+x³-x²=ln（ax+1）-ax+x³-x²；從而可得a≥0，從而再討論，當a=0時，g（x）=x³-x²，其在[1，+∞）上為增函數，當a＞0時，g′（x）=

a

ax+1

-a+3x²-2x=

x(3ax2+(3-2a)x-(2+a2))

ax+1

≥0；即3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立，再由二次函數的性質化為3a+（3-2a）-（2+a²）≥0；從而解得．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x的定義域為（-1，+∞）；
f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

；
則當x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）=ln（x+1）-x的單調增區(qū)間為（-1，0），單調減區(qū)間為（0，+∞）；
（2）g（x）=f（x）+x³-x²=ln（ax+1）-ax+x³-x²；
∵g（x）=f（x）+x³-x²在[1，+∞）上為增函數，
∴a≥0，
①當a=0時，g（x）=x³-x²，其在[1，+∞）上為增函數，
當a＞0時，g′（x）=

a

ax+1

-a+3x²-2x
=

x(3ax2+(3-2a)x-(2+a2))

ax+1

≥0；
即3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立，
而-

3-2a

2×3a

=

1

3

-

1

2a

＜

1

3

；
故3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立可化為
3a+（3-2a）-（2+a²）≥0；
解得，

1- 5

2

≤a≤

1+ 5

2

；
綜上所述，實數a的取值范圍為[0，

1+ 5

2

]．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，同時考查了數形結合的思想應用，屬于中檔題．