Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）設O，D分別為AC，AP的中點，點G為△OAB內(nèi)一點，且滿足

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)，求證：DG∥面PBC；
（Ⅲ）若AB=AC=2，PA=4，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出PA⊥AC，AB⊥AC，由此能證明AC⊥平面PAB，從而得到AC⊥PB．
（Ⅱ）法1：建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能證明DG∥平面PBC．
法2：取AB中點E，連OE，則點G在OE上．連結(jié)AG并延長交CB于F，連PF，由已知條件推導出DG∥PF，由此能證明DG∥平面PBC．
（Ⅲ）分別求出平面PBC的一個法向量和面PAB的一個法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
所以PA⊥AC．
又因為AB⊥AC，且PA∩AB=A，
所以AC⊥平面PAB．
又因為PB?平面PAB，
所以AC⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）證法1：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC．
又因為AB⊥AC，所以建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz．
設AC=2a，AB=b，PA=2c，
則A（0，0，0），B（0，b，0），C（2a，0，0），
P（0，0，2c），D（0，0，c），O（a，0，0）．
又因為

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)，
所以G(

a

3

，

b

3

，0)．
于是

DG

=(

a

3

，

b

3

，-c)，

BC

=(2a，-b，0)，

PB

=(0，b，-2c)．
設平面PBC的一個法向量

n

=（x₀，y₀，z₀），則有

n • BC =0 n • PB =0

，
即

2ax0-by0=0 by0-2cz0=0

不妨設z₀=1，則有y0=

2c

b

，x0=

c

a

，所以

n

=(

c

a

，

2c

b

，1)．
因為

n

•

DG

=

c

a

•

a

3

+

2c

a

•

b

3

+1•(-c)=0，
所以

n

⊥

DG

．又因為DG?平面PBC，
所以DG∥平面PBC．…（9分）
證法2：取AB中點E，連OE，則

OE

=

1

2

(

OA

+

OB

)．
由已知

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)可得

OG

=

2

3

OE

，
則點G在OE上．連結(jié)AG并延長交CB于F，連PF．
因為O，E分別為AC，AB的中點，
所以OE∥BC，即G為AF的中點．
又因為D為線段PA的中點，
所以DG∥PF．
又DG?平面PBC，PF?平面PBC，
所以DG∥平面PBC．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC的一個法向量

n

=(

c

a

，

2c

b

，1)=(2，2，1)．
又因為AC⊥面PAB，所以面PAB的一個法向量是

AC

=(2，0，0)．
又cos＜

n

，

AC

＞=

4

3×2

=

2

3

，
由圖可知，二面角A-PB-C為銳角，
所以二面角A-PB-C的余弦值為

2

3

．…（14分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．