Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面AEF⊥平面PAB；
（3）設(shè)$AB=\sqrt{2}AD$，求直線AC與平面AEF所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 方法一；（1）取PA中點(diǎn)G，連結(jié)DG、FG，要證明EF∥平面PAD，我們可以證明EF與平面PAD中的直線AD平行，根據(jù)E、F分別是PB、PC的中點(diǎn)，利用中位線定理結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）根據(jù)線面垂直的和面面垂直的判斷定理即可證明．
方法二：（1）求出直線EF所在的向量，得到$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DP}$+$\overrightarrow{DA}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DP}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DA}$，即可證明EF∥平面PAD．
（2）再求出平面內(nèi)兩條相交直線所在的向量，然后利用向量的數(shù)量積為0，根據(jù)線面垂直的判定定理得到線面垂直，即可證明平面AEF⊥平面PAB
（3）求出平面的法向量以及直線所在的向量，再利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角，即可解決問題．

解答 證明：方法一：（1）取PA中點(diǎn)G，連結(jié)DG、FG．
∵F是PB的中點(diǎn)，
∴GF∥AB且GF=$\frac{1}{2}$AB，
又底面ABCD為矩形，E是DC中點(diǎn)，
∴DE∥AB且DE=$\frac{1}{2}$AB
∴GF∥DE且GF=DE，
∴四邊形DEFG為平行四邊形
∴EF∥DG
∵DG?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）∵PD⊥底面ABCD，AB?面ABCD
∴PD⊥AB
又底面ABCD為矩形
∴AD⊥AB 
又PD∩AD=D
∴AB⊥平面PAD
∵DG?平面PAD
∴AB⊥DG  
∵AD=PD，G為AP中點(diǎn)
∴DG⊥AP
又AB∩AP=A，
∴DG⊥平面PAB
又由（1）知EF∥DG
∴EF⊥平面PAB，
又EF?面AEF∴平面AEF⊥平面PAB．
證法二：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB=a．
∵AD=PD=2，
∴A（2，0，0），B（2，a，0），C（0，a，0），P（0，0，2），
∵E、F分別為CD，PB的中點(diǎn)
∴E（0，$\frac{a}{2}$，0），F(xiàn)（1，$\frac{a}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{EF}=（1，0，1）$，
∵$\overrightarrow{DP}$+$\overrightarrow{DA}$=（0，0，2）+（2，0，0）=（2，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DP}$+$\overrightarrow{DA}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DP}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DA}$，
故$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{DP}$、$\overrightarrow{DA}$共面，
又EF?平面PAD
∴EF∥平面PAD．
（2）由（1）知$\overrightarrow{EF}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{AB}=（0，a，0）$，$\overrightarrow{AP}=（-2，0，2）$．
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{AP}$=-2+0+2=0，
∴$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{AP}$，
又AB∩AP=A，
∴EF⊥平面PAB，
又EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAB，
（3）AB=2$\sqrt{2}$由（1）知，
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）
設(shè)平面AEF的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EF}=0\end{array}\right.即\left\{\begin{array}{l}-2x+\sqrt{2}y=0\\ x+z=0\end{array}\right.$，
令x=1，則y=$\sqrt{2}$，z=-1，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-1），
又$\overrightarrow{AC}$=（-2，2$\sqrt{2}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-2+4+0}{2\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，面面垂直，直線與平面所成的角，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利于建立空間之間坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角與空間距離以及線面的位置關(guān)系等問題，屬于中檔題．