Question

已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1-

3

a

．
（1）討論當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若曲線y=f（x）的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而討論出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）先求出曲線y=f（x）上的兩點A、B的縱坐標均為函數(shù)的極值，把線段AB與x軸有公共點轉(zhuǎn)化為f（0）f（

2

a

）≤0，再解不等式即可求出實數(shù)a的取值范圍．（注意前提限制）．

解答：解（1）由題設(shè)知a≠0，f'（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）
令f'（x）=0⇒x=0，x=

2

a

當a＞0時，若x∈（-∞，0），則f'（x）＞0，故在（-∞，0）上遞增；
若x∈（0，

2

a

），則f'（x）＜0，故在（0，

2

a

）上遞減；
當x∈（

2

a

，+∞）時，則f'（x）＞0，在（

2

a

，+∞）上遞增．
（2）由（1）的討論及題設(shè)知，曲線y=f（x）上的兩點A、B的縱坐標均為函數(shù)的極值，
且函數(shù)y=f（x）在x=0，x=

2

a

處分別取得極值f（0）=1-

3

a

，f（

2

a

）=

4

a2

-

3

a

+1．
因為線段AB與x軸有公共點，所以f（0）f（

2

a

）≤0，
即（

4

a2

-

3

a

+1）（1-

3

a

）≤0⇒

(a+1)(a-1)(a-4)

a3

≤0．⇒a（a+1）（a-1）（a-4）≤0且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
所以實數(shù)a的取值范圍[-1，0）∪[3，4]．

點評：本題第一問主要研究利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，一般結(jié)論是：導(dǎo)數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．