Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出當(dāng)自變量等于2時(shí)的函數(shù)值，求出函數(shù)在這一點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線的方．
（II）根據(jù)上一問(wèn)做出的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)．使得導(dǎo)數(shù)等于0，做出函數(shù)的隨x的變化，f（x），f^′（x）的變化情況，看出函數(shù)的最值，得到要求的結(jié)果

解答：解：（I）∵f′(x)=x-

a

x

∴f′(2)=2-

a

2

=1，a=2，
∴f(x)=

1

2

x2-2lnx，f（2）=2-2ln2
∵點(diǎn)P（2，f（2））在y=x+b上，
∴b=2，
l：y=x-2ln2
（II）由（I）知f(x)=

1

2

x2-2lnx，
f′(x)=x-

2

x

=

(x- 2 )(x+ 2 )

x

，
當(dāng)f^′（x）=0時(shí)，x=

2

∴隨x的變化，f（x），f^′（x）的變化如下：

由表可知當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，函數(shù)的最大值為2+

1

2e2

∴k＞2+

1

2e2

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一個(gè)基礎(chǔ)題，本題解題的關(guān)鍵是能夠正確寫(xiě)出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和求出最值．