Question

如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點M，N分別為BC，PA的中點，且PA=AB=2．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱錐N-AMC的體積；
（Ⅲ）在線段PD上是否存在一點E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）要證線與面垂直，只要證明線與面上的兩條相交線垂直，找面上的兩條線，根據(jù)四邊形是一個菱形，從菱形出發(fā)找到一條，再從PA⊥平面ABCD，得到結(jié)論．
（II）要求三棱錐的體積，首先根據(jù)所給的體積確定用哪一個面做底面，會使得計算簡單一些，選擇三角形AMC，做出底面面積，利用體積公式得到結(jié)果．
（III）對于這種是否存在的問題，首先要觀察出結(jié)論，再進(jìn)行證明，根據(jù)線面平行的判定定理，利用中位線確定線與線平行，得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵ABCD為菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M為BC中點，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
（II）∵S△AMC=

1

2

AM•CM=

1

2

×

3

×1=

3

2

又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1
∴三棱錐N-AMC的體積V=

1

3

S_△AMC•AN
=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

（III）存在點E，
取PD中點E，連接NE，EC，AE，
∵N，E分別為PA，PD中點，
∴NE

∥ .

.

1

2

AD
又在菱形ABCD中，CM

∥ .

.

1

2

AD
∴NE

∥ .

.

MC，即MCEN是平行四邊形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一點E，使得NM∥平面ACE，
此時PE=

1

2

PD=

2

．

點評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，是一個非常適合作為高考題目出現(xiàn)的問題，題目包含的知識點比較全面，重點突出，是一個好題．