已知數(shù)列{an}中an=3n-2n，證明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
（用裂項法）
考點：數(shù)列與不等式的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：由已知得
1
an
1
an-1
=
3n-1-2n-1
3n-2n
=
1
3
•
3n-
3
2
•2n
3n-2n
＜
1
3
，從而
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
1
a1
+
1
a1
•
1
3
+
1
a1
•(
1
3
)2+…+
1
a1
•(
1
3
)n-1=1+
1
3
+（
1
3
）2+…+（
1
3
）n-1，由此能證明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
．
解答： 證明：∵an=3n-2n，
∴
1
a1
=
1
3-2
=1，
1
an
=
1
3n-2n
，
1
an-1 
=
1
3n-1-2n-1
，
1
an
1
an-1
=
3n-1-2n-1
3n-2n

=
1
3
•
3n-
3
2
•2n
3n-2n
＜
1
3
，
∴
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
1
a1
+
1
a1
•
1
3
+
1
a1
•(
1
3
)2+…+
1
a1
•(
1
3
)n-1
=1+
1
3
+（
1
3
）2+…+（
1
3
）n-1
=
1-
1
3n
1-
1
3

=
3
2
(1-
1
3n
)＜
3
2
．
∴
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
1
a1
+
1
a1
•
1
3
+
1
a1
•(
1
3
)2+…+
1
a1
•(
1
3
)n-1
=1+
1
3
+（
1
3
）2+…+（
1
3
）n-1
=
1-
1
3n
1-
1
3

=
3
2
(1-
1
3n
)＜
3
2
．
∴
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
．
點評：本題考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和裂項法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若角θ滿足條件cosθ＜0，tanθ＞0，則角θ所在象限應(yīng)該是（　　）
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），滿足f（x+2）-f（x）=16x且f（0）=2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，點E、D分別是B′C′與BC的中點，求證：平面A′EB∥平面ADC′．

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已知點P（x，y）在拋物線y2=4x上，點A（a，0），a∈R，記PA最小值為f（a），當(dāng)
1
3
≤a≤5時，求f（a）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，垂足為E，AF⊥Pc，垂足為F，求證：PB⊥平面AEF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，g（x）=f（x）+3，且g（1）=5，則g（-1）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不等式組
x+y≤4
x-y≤2
y≤lnx
，則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最小值是（　�。�
A、8B、5C、4D、1+ln2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（ex+1）（lnx-1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若點P（e，f（e）），且點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））滿足條件：（1-lnx1）（1-lnx2）=1（x1≠x2）．判斷A，B，P三點是否可以構(gòu)成直角∠APB？請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案