Question

如圖，在四面體中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．

(1)EF∥平面ACD；
(2)求證：平面⊥平面；
(3)若平面⊥平面，且，求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

試題分析：（1）由直線和平面平行的判定定理，只需在平面內(nèi)找一條直線與平面外直線平行，由是的中位線，知∥；（2）由平面和平面垂直的判定定理，只需在一個(gè)平面內(nèi)找另一個(gè)平面的垂線即可，由且是的中點(diǎn)，可得，又且∥，知，且=
，所以面，又面，從而平面⊥平面；（3）由已知面⊥平面，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線，必垂直于另一個(gè)平面，由面平面=，且，所以面，∴，只需求的面積即可.
試題解析：（1）∵EF是△BAD的中位線，所以EF∥AD（2分），又EF?平面ACD，AD?平面ACD
∴EF∥平面ACD；
（2）∵EF∥AD，AD⊥BD，∴BD⊥EF，又∵BD⊥CF∴BD⊥面CEF，又BD?面BDC，∴面EFC⊥面BCD；
（3）因?yàn)槊鍭BD⊥面BCD，且AD⊥BD，所以AD⊥面BCD，由BD=BC=1和CB=CD得△BCD是正三角形，所以.