Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）． （Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=|f（x）|+ （b＞0）．對任意x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ＜﹣1，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，g（x）=x﹣1﹣2lnx，（x＞0）， ∴g′（x）=1﹣ = ，
當x∈（0，2）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
綜上，g（x）的遞減區(qū)間是（0，2），遞增區(qū)間是（2，+∞）；
（Ⅱ）由題意得： +1＜0，即 ＜0，
若設(shè)G（x）=F（x）+x，則G（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，
① 當x∈[1，2]時，G（x）=lnx+ +x，G′（x）= ﹣ +1≤0，
b≥ +（x+1）2=x2+3x+3+ ，
設(shè)G1（x）=x2+3x+3+ ，則G1′（x）=2x+3﹣ ＞0在（1，2）恒成立，
∴G1（x）在（1，2]單調(diào)遞增，
∴b≥G1（x）max=G2（2）= ；
②當x∈（0，1）時，G（x）=﹣lnx+ +x，G′（x）=x2+x﹣ ﹣1，
設(shè)G2（x）=x2+x﹣ ﹣1，則G2′（x）=2x+1+ ＞0，
即G2′（x）=2x+1+ ＞0，即G2（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
故G2（x）≤G2（1）=0，
∴b≥0，
綜上，由①②可得：b≥
【解析】（Ⅰ）將a=1代入g（x）的表達式，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為 ＜0，若設(shè)G（x）=F（x）+x，通過討論①當x∈[1，2]時，②當x∈（0，1）時，G（x）的單調(diào)性，從而得到b的范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．