Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列關于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）關于直線x=1對稱；
③f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；
⑤f（2）=f（0），
其中正確的序號是________．

Answer 1

解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+1）=-[-f（x+1+1）]=f（x+2），
∴f（x）是周期為2的函數(shù)，則①正確．
又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴y=f（x）的圖象關于x=1對稱，②正確，
又∵f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
又∵對稱軸為x=1．
∴f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，f（2）=f（0），
故③④錯誤，⑤正確．
故答案應為①②⑤．
分析：首先理解題目f（x）定義在R上的偶函數(shù)，則必有f（x）=f（-x），又有關系式f（x+1）=-f（x），兩個式子綜合起來就可以求得周期了．再根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，推出單調(diào)區(qū)間即可．
點評：此題主要考查偶函數(shù)及周期函數(shù)的性質(zhì)問題，其中涉及到函數(shù)單調(diào)性問題．對于偶函數(shù)和周期函數(shù)是非常重要的考點，需要理解記憶．