Question

棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些球的最大半徑為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，那么球O與此正四面體的四個(gè)面相切，即球心到四個(gè)面的距離都是半徑，由等體積法求出球的半徑，求出上面三棱錐的高，利用相似比求出上部空隙處放入一個(gè)小球，求出這球的最大半徑．
解答：解：由題意，此時(shí)的球與正四面體相切，
由于棱長(zhǎng)為的正四面體，故四個(gè)面的面積都是=3
又頂點(diǎn)A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的倍，
又高為=3，故底面中心G到底面頂點(diǎn)的距離都是2
由此知頂點(diǎn)A到底面BCD的距離是=2
此正四面體的體積是×2×3=2，
又此正四面體的體積是×r×3×4，故有r==．
上面的三棱錐的高為，原正四面體的高為2，
所以空隙處放入一個(gè)小球，則這球的最大半徑為a，
，
∴a=．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積和表面積，用等體積法求出球的半徑，熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識(shí)保證．相似比求解球的半徑是解題的關(guān)鍵．