Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，-sinβ）．
（1）若|

a

+

b

|=

2

，求證：

a

⊥

b

；
（2）若

c

=（

1

2

，

1

3

），

a

+

b

=

c

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的余弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的模的公式和向量的平方即為模的平方，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；
（2）首先由向量的加法的運(yùn)算，再由平方法和同角的平方關(guān)系及兩角和的余弦公式，計(jì)算即可得到．

解答： （1）證明：

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，-sinβ），
則|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，|

b

|=

cos2β+sin2β

=1，
|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

1+1+2 a • b

=

2

，
即有

a

•

b

=0，
即

a

⊥

b

；
（2）解：若

c

=（

1

2

，

1

3

），

a

+

b

=

c

，
則cosα+cosβ=

1

2

，sinα-sinβ=

1

3

，
兩式平方相加可得，
cos²α+sin²α+cos²β+sin²β+2（cosαcosβ-sinαsinβ）=

13

36

，
即2+2cos（α+β）=

13

36

，
則有cos（α+β）=-

59

72

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和向量的模的求法，同時(shí)考查同角的平方關(guān)系及兩角和的余弦公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．