Question

已知中心在直角坐標系的原點、焦點在x軸上的橢圓C，其長軸的長為6，點F₁，F₂為橢圓C的左、右焦點，點P為該橢圓上的動點，且△F₁PF₂ 面積的最大值為2

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由于長軸的長為6，點P為該橢圓上的動點，且△F₁PF₂ 面積的最大值為2

5

．可得2a=6，

1

2

•2c•b=2

5

，a²=b²+c²，解出即可．
（2））|PF₁|+|PF₂|=6，設|PF₁|=t，可得a-c≤t≤a+c．分類討論：當c=2時，t∈[1，4]；當c=

5

時，t∈[3-

5

，3+

5

]．

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

=

1

t2

+

1

(6-t)2

=f（t），利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵長軸的長為6，點P為該橢圓上的動點，且△F₁PF₂ 面積的最大值為2

5

．
∴2a=6，

1

2

•2c•b=2

5

，又a²=b²+c²，
解得a=3，b²=5或4．
∴橢圓的方程為：

x2

9

+

y2

5

=1或

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）|PF₁|+|PF₂|=6，設|PF₁|=t，則a-c≤t≤a+c，
①當c=2時，t∈[1，4]，

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

=

1

t2

+

1

(6-t)2

=f（t），
f′（t）=-

2

t3

+

2

(6-t)3

=

2(t-3)(t2-6t+36)

t3(6-t)3

，令f′（t）=0，解得t=3．
令f′（t）＞0，解得3＜t≤4，函數f（t）單調遞增；令f′（t）＜0，解得1≤t＜3，函數f（t）單調遞減．
而f（1）=

26

25

，f（4）=

5

16

，f（3）=

2

9

．
∴f(t)∈[

2

9

，

26

25

]．
②當c=

5

時，t∈[3-

5

，3+

5

]，同理可得：f（t）∈[

2

9

，

7

4

]．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、利用導數研究其單調性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．