Question

【題目】已知命題P：函數f（x）=log2m（x+1）是增函數；命題Q：x∈R，x2+mx+1≥0．
（1）寫出命題Q的否命題￢Q；并求出實數m的取值范圍，使得命題￢Q為真命題；
（2）如果“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實數m的取值范圍

Answer 1

【答案】
（1）解：Q：x0∈R，x02+mx0+1＜0．

若Q為真命題，則△=m2﹣4＞0，解得：m＜﹣2，或m＞2．

故所求實數m的取值范圍為：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．

（2）解：若函數f（x）=log2m（x+1）是增函數，則 2m＞1， ．

又x∈R，x2+mx+1≥0為真命題時，由△=m2﹣4≤0，

求得m的取值范圍為B={m|﹣2≤m≤2}．

由“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，故命題P、Q中有且僅有一個真命題．

當P真Q假時，實數m的取值范圍為：

．

當P假Q真時，實數m的取值范圍為：

；

綜上可知實數m的取值范圍：[﹣2， ]∪（2，+∞）．

【解析】（1）否命題Q，就是把命題Q的條件和結論都否定，聯系對應二次函數圖象，由△=m2﹣4＞0，解得m的

取值范圍．（2）命題P和命題Q中，一個為真命題，一個為假命題，分命題P是真命題且命題Q是假命題、命題P是

假命題且命題Q是真命題，兩種情況，計算可得答案．

【考點精析】通過靈活運用交、并、補集的混合運算和對數函數的單調性與特殊點，掌握求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法；過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數;0>a>1時在（0，+∞）上是減函數即可以解答此題．