Question

如圖，在三棱錐P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC．

(Ⅰ)求證：PC⊥AB；

(Ⅱ)求二面角B－AP－C的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)取AB中點D，連結PD，CD． 　　∵AP＝BP， 　　∴PD⊥AB． 　　∵AC＝BC． 　　∴CD⊥AB． 　　∵PD∩CD＝D． 　　∴AB⊥平面PCD． 　　∵PC平面PCD， 　　∴PC⊥AB． 　　(Ⅱ)∵AC＝BC，AP＝BP， 　　∴△APC≌△BPC． 　　又PC⊥AC， 　　∴PC⊥BC． 　　又∠ACB＝90°，即AC⊥BC， 　　且AC∩PC＝C， 　　∴AB＝BP， 　　∴BE⊥AP． 　　∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影， 　　∴CE⊥AP． 　　∴∠BEC是二面角B－AP－C的平面角． 　　在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝， 　　∴sin∠BEC＝ 　　∴二面角B－AP－C的大小為aresin 　　解法二： 　　(Ⅰ)∵AC＝BC，AP＝BP， 　　∴△APC≌△BPC． 　　又PC⊥AC． 　　∴PC⊥BC． 　　∵AC∩BC＝C， 　　∴PC⊥平面ABC． 　　∵AB平面ABC， 　　∴PC⊥AB． 　　(Ⅱ)如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C－xyz． 　　則C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)． 　　設P(0，0，t)， 　　∵|PB|＝|AB|＝2， 　　∴t＝2，P(0，0，2)． 　　取AP中點E，連結BE，CE． 　　∵|AC|＝|PC|，|AB|＝|BP|， 　　∴CE⊥AP，BE⊥AP． 　　∴∠BEC是二面角B－AP－C的平面角． 　　∵E(0，1，1)， 　　∴cos∠BEC＝ 　　∴二面角B－AP－C的大小為arccos