Question

5．設函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-$\sqrt{3}$cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值，以及取得最大值時對應x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)T=$\frac{2π}{ω}$求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）可求x∈[0，$\frac{π}{2}$]時sin（2x-$\frac{π}{3}$）的取值范圍，求出x=$\frac{5π}{12}$時f（x）取得最大值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-$\sqrt{3}$cos2x
=sin²x+2sinxcosx+cos²x-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，
2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
∴當x=$\frac{5π}{12}$時，f（x）=2sin（2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$）+1=3取得最大值．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．