若函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為7,則a=________.
2或
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分析:由已知中函數(shù)y=a
2x+2a
x-1(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是7,我們利用換元法,及二次函數(shù)的性質(zhì),我們易構(gòu)造關(guān)于a的方程,解方程即可得到答案.
解答:令t=a
x,則t>0,則y=a
2x+2a
x-1=t
2+2t-1=(t+1)
2 -2 (t>0).
當0<a<1時,∵x∈[-1,1],∴a≤t≤
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,此時f(t)在[a,
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]上單調(diào)遞增,
則y
max=f(
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)=
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+
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-1=7,解得:
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=2,或
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=-4(舍)∴a=
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.
當a>1時,∵x∈[-1,1],∴
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≤t≤a,此時f(t)在[
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,a]上單調(diào)遞增,
則y
max=f(a)=a
2+2a-1=7,解得:a=2,或a=-4(舍),∴a=2.
綜上:a=
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,或a=2,
故答案為
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或 2.
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義,指數(shù)函數(shù)的值域,二次函數(shù)的單調(diào)性,其中利用換元法將已知中的函數(shù)化為二次函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.