Question

已知函數(shù)y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R）的值域是[

1

2

，1]，則
（1）函數(shù)y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是

 

；
（2）類比上述結(jié)論，函數(shù)y=sin²ⁿx+cos²ⁿx（n∈N^*）的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),推理和證明

分析：（1）y=sin⁶x+cos⁶x=

5

8

+

3

8

cos4x，結(jié)合余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得其值域?yàn)閇

1

4

，1]；
（2）由函數(shù)y=sin²x+cos²x（x∈R）的值域是{1}，函數(shù)y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R）的值域是[

1

2

，1]，函數(shù)y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是[

1

4

，1]，分析區(qū)間端點(diǎn)與n之間的變化規(guī)律，可得答案．

解答： 解：（1）y=sin⁶x+cos⁶x
=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）-3sin²xcos²x
=1-

3

4

sin²2x
=

5

8

+

3

8

cos4x，
故函數(shù)y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是[

1

4

，1]；
（2）由函數(shù)y=sin²x+cos²x（x∈R）的值域是{1}，
函數(shù)y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R）的值域是[

1

2

，1]，
函數(shù)y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是[

1

4

，1]，
…
由此歸納可得：y=sin²ⁿx+cos²ⁿx（n∈N^*）的值域是[

1

2n-1

，1]，
故答案為：[

1

4

，1]，[

1

2n-1

，1]

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．