Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，若f（1）=0，則不等式f[x（x-

1

2

）]＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的圖象，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵y=f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴在（-∞，0）上是增函數(shù)，
若f（1）=0，則f（-1）=-f（1）=0，
則函數(shù)f（x）的草圖如圖：（直線只代表單調(diào)性）
則不等式f[x（x-

1

2

）]＜0等價(jià)為0＜x（x-

1

2

）＜1   ①
或x（x-

1

2

）＜-1，②
由①得

x＞ 1 2 或x＜0 2x2-x-2＜0

即

x＞ 1 2 或x＜0 1- 7 2 ＜x＜ 1+ 7 2

，
即

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

，
由②得

x(x- 1 2 )＜0 x(x- 1 2 )＜-1

，即

0＜x＜ 1 2 2x2-x+2＜0

，此時(shí)不等式無(wú)解．
綜上

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

，
即不等式的解集為{x|

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

}，
故答案為：{x|

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖是解決本題的關(guān)鍵．