Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=x．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．G是BC的中點(diǎn)，以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f（x）．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG；
（2）求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)，求異面直線AE與BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥EF，垂足H，連結(jié)BH、GH，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證出DH⊥平面EBCF，從而EG⊥DH，根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合EF∥BC，∠ABC=90°，證出四邊形BGHE為正方形，得EG⊥BH，可得EG⊥平面DBH，從而得出EG⊥BD；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證出AE⊥面EBCF，可得AE∥DH，從而得四邊形AEHD是矩形，得DH=AE=x等于以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐D-BCF的高．結(jié)合S△BCF=

1

2

BC•BE=8-2x，算出三棱錐D-BCF的體積為V=f（x）=

1

3

S△BFC•AE=

1

3

( 8-2x )x，在x=2時(shí)，f（x）有最大值為

8

3

；
（3）由（2）知當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)AE=2，故BE=2，結(jié)合DH∥AE得∠BDH是異面直線AE與BD所成的角．在Rt△BEH中，算出BH=2

2

，△BDH中，得到BD=2

3

，最后利用直角三角形中三角函數(shù)的定義，算出cos∠BDH=

DH

BD

=

3

3

，從而得到異面直線AE與BD所成的角的余弦值．

解答：解：（1）作DH⊥EF，垂足H，連結(jié)BH、GH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH?平面EBCF，
∴DH⊥平面EBCF，結(jié)合EG?平面EBCF，得EG⊥DH，
∵EH=AD=

1

2

BC=BG，EF∥BC，∠ABC=90°．
∴四邊形BGHE為正方形，得EG⊥BH．
又∵BH、DH?平面DBH，且BH∩DH=H，∴EG⊥平面DBH．
∵BD?平面DBH，∴EG⊥BD．
（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE?平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．結(jié)合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，
∴四邊形AEHD是矩形，得DH=AE，
故以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐D-BCF的高DH=AE=x，
又∵S△BCF=

1

2

BC•BE=

1

2

×4×( 4-x )=8-2x．
∴三棱錐D-BCF的體積為V=f（x）=

1

3

S△BFC•DH=

1

3

S△BFC•AE
=

1

3

( 8-2x )x=-

2

3

x2+

8

3

x=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

．
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有最大值為

8

3

．
（3）由（2）知當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)AE=2，故BE=2，
結(jié)合DH∥AE，可得∠BDH是異面直線AE與BD所成的角．
在Rt△BEH中，BH=

BE2+EH2

=

4+AD2

=2

2

，
∵DH⊥平面EBCF，BH?平面EBCF，∴DH⊥BH
在Rt△BDH中，BD=

BH2+DH2

=

8+AE2

=2

3

，
∴cos∠BDH=

DH

BD

=

2

2 3

=

3

3

．
∴異面直線AE與BD所成的角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面折疊問題，求證直線與直線垂直，求體積的最大值并求此時(shí)異面直線所成角大小．著重考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角大小的求法等知識(shí)，屬于中檔題．