Question

計算由曲線y²=2x，直線y=x-4所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：曲線y²=2x與直線y=x-4方程聯(lián)解，得交點A（2，-2）、B（8，4）．因此，所求圖形面積為函數(shù)y=2

2x

在[0，2]上的積分值，與函數(shù)y=

2x

-（x-4）在[2，8]上的積分值之和．利用公式分別算出這兩個積分的值，相加即得所求圖形的面積．

解答：解：由方程組

y2=2x y=x-4

，解之得

x=2 y=-2

或

x=8 y=4

∴曲線y²=2x與直線y=x-4交于點A（2，-2）和B（8，4）．
因此，曲線y²=2x，直線y=x-4所圍成的圖形的面積為
S=

∫

2 0

2

2x

dx+

∫

8 2

(

2x

-x+4)dx
∵

∫

2 0

2

2x

dx=（2

2

•

2

3

x

3

2

）

|

2 0

=

16

3

，

∫

8 2

(

2x

-x+4)dx=（

2

•

2

3

x

3

2

-

1

2

x²+4x）

|

8 2

=（

2

•

2

3

•8

3

2

-

1

2

×8²+4×8）-（

2

•

2

3

•2

3

2

-

1

2

×2²+4×2）=

38

3

∴所求圖形面積為S=

∫

2 0

2

2x

dx+

∫

8 2

(

2x

-x+4)dx=

16

3

+

38

3

=18

點評：本題給出兩條曲線，求它們圍成圖形的面積，著重考查了定積分計算公式和微積分基本定理等知識，屬于中檔題．