Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2x﹣a）2+（2﹣x+a）2 ， x∈[﹣1，1]．
（1）若設(shè)t=2x﹣2﹣x ， 求出t的取值范圍（只需直接寫(xiě)出結(jié)果，不需論證過(guò)程）；并把f（x）表示為t的函數(shù)g（t）；
（2）求f（x）的最小值；
（3）關(guān)于x的方程f（x）=2a2有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（2x﹣a）2+（2﹣x+a）2=（2x﹣2﹣x）2﹣2a（2x﹣2﹣x）+2a2+2

令t=2x﹣2﹣x，x∈[﹣1，1]，∴

f（x）表示為t的函數(shù)g（t）=t2﹣2at+2a2+2=（t﹣a）2+a2+2

（2）解：g（t）=t2﹣2at+2a2+2=（t﹣a）2+a2+2，

當(dāng) 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)， ，

∴

（3）解：方程f（x）=2a2有解，即方程t2﹣2at+2=0在 上有解，而t≠0

∴ ，

令 ，則 ，∴函數(shù)在 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增

∴ ，

又 為奇函數(shù)，∴當(dāng) 時(shí)

∴a的取值范圍是

【解析】（1）展開(kāi)，換元，代入可得函數(shù)解析式；（2）利用配方法，分類(lèi)討論，可求f（x）的最小值；（3）方程f（x）=2a2有解，即方程t2﹣2at+2=0在 上有解，分離參數(shù)，利用基本不等式可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)才能正確解答此題．