Question

正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC的中點（如圖（1））．現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖（2）．在圖（2）中：
（Ⅰ）求證：AB∥平面DEF
（Ⅱ）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論；
（Ⅲ）求二面角E-DF-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由E、F分別是AC、BC的中點，得EF∥AB，由此能證明AB∥平面DEF．
（Ⅱ）以點D為坐標原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能在線段BC上存在點P，使AP⊥DE．
（Ⅲ）分別求出平面CDF的法向量和平面EDF的法向量，利用同向量法能求出二面角E-DF-C的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖（2），在△ABC中，
∵E、F分別是AC、BC的中點，∴EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．（4分）
（Ⅱ）解：以點D為坐標原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系． 
則A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，

3

，0），
E（0，

3

2

，

1

2

），F(xiàn)（

1

2

，

3

2

，0），

AB

=(1，0，-1)，

BC

=(-1，

3

，0)，

DE

=(0，

3

2

，

1

2

)，

DF

=(

1

2

，

3

2

，0)．
設

BP

=λ

BC

，則

AP

=

AB

+

BP

=(1-λ，

3

λ，-1)，（7分）
注意到AP⊥DE?

AP

•

DE

=0?λ=

1

3

?

BP

=

1

3

BC

，
∴在線段BC上存在點P，使AP⊥DE．（9分）
（Ⅲ）解：平面CDF的法向量

DA

=(0，0，1)，
設平面EDF的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

DF • n =0 DE • n =0

，即

x+ 3 y=0 3 y+z=0

，
取

n

=(3，-

3

，3)，----（10分）
cos＜

DA

•

n

＞=

DA • n

| DA |•| n |

=

21

7

，
所以二面角E-DF-C的平面角的余弦值為

21

7

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．