Question

(理)如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點E是AB的中點，點F在側棱BB₁上，且EF⊥CA₁．

(1)求二面角C－A₁F－E的大�。�

(2)求點E到平面CA₁F的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖，分別以CA、CB、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系 　　并設BF＝x，則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，E(，，0)，F(0，1，x)，A1(1，0，2)，則 　　∵EF⊥CA1，則 　　　2分 　　設向量為平面A1CF的法向量，則， 　　，又 　　，令，則 　　　4分 　　由題意CA＝CB，E為AB的中點，所以CE⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱 　　∴CE⊥平面A1EF 　　，0)為平面A1EF的法向量 　　 　　 　　∴二面角C－A1F－E的大小為45°　8分 　　(2)向量在平面CA1F的法向量n上的射影的長為 　　向量在平面A1CF的法向量n上的投影長即為點E到平面A1CF的距離． 　　∴點E到平面A1CF的距離為　12分 　　方法2：(2)設頂點E到平面A1CF的距離為d，由(1)CG＝1，CE⊥面A1B，A1F⊥EF， 　　 　　 　　即點E到平面CA1F的距離為