Question

【題目】如圖（1），在矩形中，在邊上，.沿將和折起，使平面和平面都與平面垂直，連接，如圖（2）.

（1）證明：；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）分別取AF，BE的中點(diǎn)M，N，連結(jié)DM，CN，MN．根據(jù)條件可證得平面ADF⊥平面ABEF，則DM⊥平面ABEF．同理CN⊥平面ABEF，從而DM∥CN．可得MN∥AB，則CD∥AB；

（2）根據(jù)體積關(guān)系以及線段長(zhǎng)度關(guān)系可得V三棱錐B﹣DCE＝2V三棱錐B﹣EFC＝2V三棱錐C﹣EFB．由（1）知，CN⊥平面BEF，即可得所求

（1）分別取AF，BE的中點(diǎn)M，N，連結(jié)DM，CN，MN．

由圖（1）可得，△ADF與△BCE都是等腰直角三角形且全等，

∴DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN．

∵平面ADF⊥平面ABEF，交線為AF，DM平面ADF，DM⊥AF，

∴DM⊥平面ABEF．

同理，CN⊥平面ABEF，∴DM∥CN．

又∵DM＝CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CD∥MN．

∵M，N分別是AF，BE的中點(diǎn)，

∴MN∥AB，

∴CD∥AB；

（2）由圖可知，V三棱錐D﹣BCE＝V三棱錐B﹣DCE，

∵EF＝1，AB＝3，∴CD＝MN＝2，

∴V三棱錐B﹣DCE＝2V三棱錐B﹣EFC＝2V三棱錐C﹣EFB．

由（1）知，CN⊥平面BEF．

∵，，∴，

∴．