Question

(本題滿分18分）本題共3小題，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題6分.

已知函數(shù).

（1）指出的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）并作出函數(shù)的圖像；

（2）關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）關(guān)于的方程（）恰有6個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

（1）見圖象，（2），（3）

【解析】

試題分析：明確絕對值的含義，首先化簡絕對值符號，當(dāng)時，，，則，，，同理：當(dāng)，，當(dāng) 時，，當(dāng)時，，求出的解析式，畫出函數(shù)在每一段的圖象，可以看出函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)，數(shù)形結(jié)合后，寫出單調(diào)區(qū)間及最值；第二步先用換元法令，把不等式后，先求的最大值，然后寫出的范圍；第三步先觀察的圖象可知，關(guān)于的方程（）恰有6個不同的實數(shù)解即有6個不同的解，要使方程有6個不同實根，只需，，這時只需研究一元二次方程的根的分布問題即可，何時一元二次方程的一根為2，另一根在呢？設(shè)，首先一根為2滿足，另一根在滿足，消去求出的取值范圍即可 .

試題解析：（1）， ，是偶函數(shù)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，的最大值是，無最小值，值域為

作圖如下：

因為關(guān)于的不等式恒成立，令，則，即不等式

在上恒成立，當(dāng)時，,不等式化為，

又

（3）關(guān)于的方程（）恰有6個不同的實數(shù)解即有6個不同的解，數(shù)形結(jié)合可知必有和， ，令，則關(guān)于的方程有一根為2，另一根在間，

考點：1.含絕對值符號的函數(shù)式化為分段函數(shù)；2.極端原理；3.數(shù)形結(jié)合；