Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率等于

2

2

，它的一個頂點B恰好是拋物線x²=4y的焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于M，N兩點，那么橢圓C的右焦點F是否可以成為△BMN的垂心？若可以，求出直線l的方程；若不可以，請說明理由．（注：垂心是三角形三條高線的交點）

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）拋物線x²=4y的焦點為（0，1），可得c=1．再利用

c a = 2 2 b=1

，即可得出．
（2）利用三角形垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得直線l的斜率為1．設(shè)直線的方程為y=x+m，代入橢圓方程并整理，可得3x²+4bx+2（b²-1）=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
拋物線x²=4y的焦點為（0，1），
由

c a = 2 2 b=1

⇒a=

2

，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）假設(shè)存在直線l，使得點F是△BMN的垂心．
易知直線BF的斜率為-1，從而直線l的斜率為1．
設(shè)直線的方程為y=x+m，代入橢圓方程并整理，可得3x²+4mx+2（m²-1）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

4

3

m，x1x2=

2m2-2

3

．
于是

NF

•

BM

=（1-x₂）x₁-y₂（y₁-1）
=x₁+y₂-x₁x₂-y₁y₂
=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=-2x₁x₂+（1-m）（x₁+x₂）+m-m²
=

-2(2m2-2)

3

+(1-m)(-

4m

3

)+m-m²=0，
解之得m=1或m=-

4

3

．
當(dāng)m=1時，點B即為直線l與橢圓的交點，不合題意； 
 當(dāng)m=-

4

3

時，經(jīng)檢驗符合題意．
∴當(dāng)且僅當(dāng)直線l的方程為y=x-

4

3

時，點F是△BMN的垂心．

點評：本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．