Question

已知函數(shù)f(x)=|x-a|+

4

x

(a∈R)．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）當(dāng)方程f（x）=2恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，求a的值；
（3）若對(duì)于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=0時(shí)，即解不等式f(x)=|x|+

4

x

≥0，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)進(jìn)行分類討論；
（2）令y1=|x-a|，y2=2-

4

x

，由函數(shù)圖象知兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況：當(dāng)a≥2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）恒成立問題的解決方法，先對(duì)絕對(duì)值內(nèi)進(jìn)行討論，后分離出參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的值域問題解決．

解答：解：（1）由a=0得f(x)=|x|+

4

x

當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x+

4

x

≥0恒成立
∴x＞0
當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=-x+

4

x

≥0得x≥2或x≤-2又x＜0
∴x≤-2
所以不等式f（x）≥0的解集為（-∞，-2]∪（0，+∞）（4分）

（2）由f（x）=2得|x-a|=2-

4

x

，令y1=|x-a|，y2=2-

4

x

由函數(shù)圖象知兩函數(shù)圖象在y軸右邊只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足題意
由圖知，此時(shí)a=2
由圖知a=2時(shí)方程f（x）=2恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（8分）
又兩曲線的交點(diǎn)可能都在雙曲線的左支上，此時(shí)必有a＜0
又y1=|x-a|=

x-a，x＞a a-x，x＜a

，由函數(shù)的圖象知，x＜a時(shí)，兩曲線必有一個(gè)交點(diǎn)，故只需要x＞a時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)即可滿足題意
x＞a時(shí)，有x-a=2-

4

x

在x＜0時(shí)有根，即a+2=x+

4

x

在x＜0時(shí)成立，由基本不等式知，x＜0時(shí)x+

4

x

≤-4，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取到，此時(shí)有a≤-6，滿足x＞a，故可得a≤-6
故當(dāng)方程f（x）=2恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，a=2或a≤-6
（3）|x-a|+

4

x

≥1(x＞0)，
當(dāng)a≤0時(shí)，x-a+

4

x

≥1(x＞0)，x+

4

x

-1≥a(x＞0)，可得a≤3，所以a≤0符合題意，
當(dāng)a＞0時(shí)f(x)=

x+ 4 x -a，x≥a a-x+ 4 x ，0＜x＜a

①當(dāng)x≥a時(shí)，x+

4

x

-a≥1，即a≤x+

4

x

-1，(x＞0)，
設(shè)g（x）=x+

4

x

-1
令0＜a≤2時(shí)，a≤g（2）=3，所以0＜a≤2
a＞2時(shí)，a≤g(a)=a+

4

a

-1，所以a≤3，即2＜a≤3，所以0＜a≤3
②當(dāng)0＜x＜a時(shí)，-x+

4

x

+a≥1，即a≥x-

4

x

+1(x＞0)，所以a≥a-

4

a

+1，a≤4，
綜上，a的取值范圍是（-∞，4]（16分）

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有絕對(duì)值的題目，本身就是分類的，問題的提出已包含了分類的原因．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，在高考試題中占有重要的位置．