Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，P是棱CD上一點(diǎn)，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，CP=3，PD=1．
（1）求異面直線A₁P與BC₁所成的角；
（2）求證：PB⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可得出；
（2）利用線面垂直的判定定理即可得出．

解答： 解：（1）以D原點(diǎn)，DA、DC、DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A1(

2

，0，3)，P（0，1，0），B(

2

，2，0)，C₁（0，4，3）．

PA1

=(

2

，-1，3)，

BC1

=(-

2

，2，3)，cosθ=

PA1 • BC1

| PA1 | | BC1 |

=

-2-2+9

12 • 15

=

5

6

．
∴異面直線A₁P與BC₁所成的角的大小等于arccos

5

6

．
（2）過B作BM⊥CD交CD于M，在Rt△BMC中，BM=

2

，MC=2，則BC=

6

，
∵PC₁=

32+32

=3

2

，BC1=

6+32

=

15

，PB=

2+1

=

3

，
∵P

C

2 1

=PB2+B

C

2 1

，∴PB⊥BC₁．
∵B₁B⊥平面ABCD，∴B₁B⊥PB．
又B₁B∩BC=B，∴PB⊥平面BCC₁B₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的夾角公式、線面垂直的判定定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于中檔題．