Question

已知直線(xiàn)C₁

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），C₂

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），
（Ⅰ）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，求C₁與C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）C₁與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，P為AB中點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡的普通方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）首先，將給定的曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程，然后聯(lián)立方程組，求解相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）首先，將曲線(xiàn)C₁化為普通方程，然后，確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后，確定其中點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)，得到其普通方程．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)α=

π

3

時(shí)，C₁的普通方程為y=

3

（x-1），
C₂的普通方程為x²+y²=1．
聯(lián)立方程組

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，
解得C₁與C₂的交點(diǎn)為（1，0），（

1

2

，-

3

2

）．
（Ⅱ）由曲線(xiàn)C₁得
xsinα-ycosα-sinα=0，
令y=0，得 x=1，
令x=0，得y=-tanα，
∴A（1，0），B（0，-tanα），
∴P（

1

2

，-

1

2

tanα），
∴P點(diǎn)的軌跡的普通方程：x=

1

2

(y∈R)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程和普通方程的互化等知識(shí)，屬于中檔題．