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已知函數f(x)=x+
2a2x
-alnx  (a∈R)

(1)討論函數y=f(x)的單調區(qū)間;
(2)設g(x)=x2-2bx+4-ln2,當a=1時,若對任意的x1,x2∈[1,e](e是自然對數的底數),f(x1)≥g(x2),求實數b的取值范圍.
分析:(1)求出導數f′(x),利用導數與函數單調性的關系解出不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可.
(2)由題意得,對任意的x1,x2∈[1,e](e是自然對數的底數),f(x1)≥g(x2)成立,可轉化為當x∈[1,e]時,[f(x)]min≥[g(x)]max
解答:解:(1)因為f(x)=x+
2a2
x
-alnx(x>0)
,所以f′(x)=1-
2a2
x2
-
a
x
=
x2-ax-2a2
x2
=
(x+a)(x-2a)
x2
,
①若a=0,f(x)=x,f(x)在(0,+∞)上單調遞減.
②若a>0,當x∈(0,2a)時,f′(x)<0,f(x)在(0,2a)上單調遞減;當x∈(2a,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(2a,+∞)上單調遞增.
③若a<0,當x∈(0,-a)時,f′(x)<0,f(x)在(0,-a)上單調遞減;當x∈(-a,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上單調遞增.
綜上:①當a=0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
②當a>0時,f(x)在(0,2a)上單調遞減,在(2a,+∞)上單調遞增.
③當a<0時,f(x)在(0,-a)上單調遞減,在(-a,+∞)上單調遞增.
(2)當a=1時,f(x)=x+
2
x
-lnx(x>0)

由(1)知,若a=1,當x∈(0,2)時,f(x)單調遞減,當x∈(2,+∞)時,f(x)單調遞增,
所以f(x)min=f(2)=3-ln2.
因為對任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,
所以問題等價于對于任意x∈[1,e],f(x)min≥g(x)恒成立,
即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2對于任意x∈[1,e]恒成立,
即2b≥x+
1
x
對于任意x∈[1,e]恒成立,
因為函數y=x+
1
x
的導數y′=1-
1
x2
≥0
在[1,e]上恒成立,
所以函數y=x+
1
x
在[1,e]上單調遞增,所以(x+
1
x
)max=e+
1
e
,
所以2b≥e+
1
e
,所以b
e
2
+
1
2e

故實數b的取值范圍為[
e
2
+
1
2e
,+∞
).
點評:本題考查了利用導數研究函數的單調性、求函數最值問題.函數恒成立問題常轉化為函數最值問題解決.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數,且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:浙江省東陽中學高三10月階段性考試數學理科試題 題型:022

已知函數f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數”.已知函數f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數”,則k的值是_________.

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數學試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數,g(x)是奇函數,則f(x)+g(x)是奇函數
B.f(x)是偶函數,g(x)是偶函數,則f(x)+g(x)是偶函數
C.f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則f(x)+g(x)一定是奇函數或偶函數
D.f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則f(x)+g(x)可以是奇函數或偶函數

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