Question

已知函數f(x)=x+

2a2

x

-alnx  (a∈R)．
（1）討論函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）設g（x）=x²-2bx+4-ln2，當a=1時，若對任意的x₁，x₂∈[1，e]（e是自然對數的底數），f（x₁）≥g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導數f′（x），利用導數與函數單調性的關系解出不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（2）由題意得，對任意的x₁，x₂∈[1，e]（e是自然對數的底數），f（x₁）≥g（x₂）成立，可轉化為當x∈[1，e]時，[f（x）]_min≥[g（x）]_max．

解答：解：（1）因為f（x）=x+

2a2

x

-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1-

2a2

x2

-

a

x

=

x2-ax-2a2

x2

=

(x+a)(x-2a)

x2

，
①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
②若a＞0，當x∈（0，2a）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上單調遞減；當x∈（2a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上單調遞增．
③若a＜0，當x∈（0，-a）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上單調遞減；當x∈（-a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上單調遞增．
綜上：①當a=0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
②當a＞0時，f（x）在（0，2a）上單調遞減，在（2a，+∞）上單調遞增．
③當a＜0時，f（x）在（0，-a）上單調遞減，在（-a，+∞）上單調遞增．
（2）當a=1時，f（x）=x+

2

x

-lnx(x＞0)．
由（1）知，若a=1，當x∈（0，2）時，f（x）單調遞減，當x∈（2，+∞）時，f（x）單調遞增，
所以f（x）_min=f（2）=3-ln2．
因為對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
所以問題等價于對于任意x∈[1，e]，f（x）_min≥g（x）恒成立，
即3-ln2≥x²-2bx+4-ln2對于任意x∈[1，e]恒成立，
即2b≥x+

1

x

對于任意x∈[1，e]恒成立，
因為函數y=x+

1

x

的導數y′=1-

1

x2

≥0在[1，e]上恒成立，
所以函數y=x+

1

x

在[1，e]上單調遞增，所以(x+

1

x

)max=e+

1

e

，
所以2b≥e+

1

e

，所以b≥

e

2

+

1

2e

，
故實數b的取值范圍為[

e

2

+

1

2e

，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、求函數最值問題．函數恒成立問題常轉化為函數最值問題解決．