Question

（2011•天津模擬）已知g（x）=mx+2，f(x)=x2-

3x2-4

x2

，若對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，總存在x2∈[1，

3

]，使得g（x₁）＞f（x₂），則m的取值范圍是（　�。�

• A．{0}
• B．(-

  1

  2

  ，1)
• C．(-

  1

  3

  ，

  2

  3

  )
• D．(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：由f(x)=x2-

3x2-4

x2

=x2+

4

x2

-3≥2

x2• 4 x2

-3=1，知當(dāng)且僅當(dāng)x2=

4

x2

，即x=

2

時(shí)，f（x）取最小值1．再分m＞0，m＜0和m=0三種情況，求g（x）的最小值，并且保證g（x）的最小值大于1，由此能夠求出m的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=x2-

3x2-4

x2

=x2+

4

x2

-3
≥2

x2• 4 x2

-3
=1．
當(dāng)且僅當(dāng)x2=

4

x2

，即x=

2

時(shí)，f（x）取最小值1．
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）=mx+2是增函數(shù)，
對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，g（x）_min=g（-1）=2-m．
由題設(shè)知2-m＞1，解得m＜1，
∴0＜m＜1．
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）=mx+2是減函數(shù)，
對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，g（x）_min=g（2）=2m+2．
由題設(shè)知2m+2＞1，解得m＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜m＜0．
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=2＞1，成立．
綜上所述，m∈(-

1

2

，1)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．