Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n，且滿足4S_n=（a_n+1）²
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足：b₁=3，b_n+1=ab_n，記c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0又a_n＞0故a_n-a_n-1=2，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由已知條件推導出{b_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列，從而bn=2n+1，進而cn=anbn=(2n-1)2n+(2n-1)，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）∵4Sn=(an+1)2當n≥2時，4Sn-1=(an-1+1)2
兩式相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
又a_n＞0故a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列
又a₁=1，
∴a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）∵bn+1=abn=2bn-1，
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
又b₁-1=2≠0，∴{b_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列，
∴bn-1=2n，
∴bn=2n+1，
故cn=anbn=(2n-1)2n+(2n-1)
記An=1×2+3×22+…+(2n-1)2n，①
2A_n=1×2²+3×2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-A_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-(2n-1)•2n+1，
由錯位相減得：
An=(2n-3)2n+1+6，
∴Tn=(2n-3)2n+1+n2+6．（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求不法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．