在自然條件下,某草原上野兔第n年年初的數(shù)量記為xn,該年的增長量yn和 xn與的乘積成正比,比例系數(shù)為
,其中m是與n無關(guān)的常數(shù),且x1<m,
(1)證明:;
(2)用 xn表示xn+1;并證明草原上的野兔總數(shù)量恒小于m.
(1)詳見解析;(2),證明用數(shù)學(xué)歸納法,過程詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)由已知可得yn是xn的一個(gè)二次函數(shù),利用配方法,注意到就可證明
;(2)由已知有該年的增長量
,所以第n+1年年初的的數(shù)量xn+1=xn+yn,代入即可用 xn表示xn+1;證明草原上的野兔總數(shù)量恒小于m,即證對一切非零自然數(shù)n,都有xn<m,可考慮用數(shù)學(xué)歸納法來證明:當(dāng)n=1時(shí)顯然成立;再假設(shè)當(dāng)
時(shí),命題成立,則對n=k+1時(shí),由于
是xk的一個(gè)二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),可證
成立,從而有對一切正整數(shù)n,
,即是草原上的野兔總數(shù)量恒小于m.
試題解析:(1)由題意知 ,配方得:
∵
∴當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),
取得最大值
,即
(5分)
(2) (8分)
用數(shù)列歸納法證明:
當(dāng)n=1時(shí),由題意知,故命題成立
假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立
是xk的一個(gè)二次函數(shù)
,
有對稱軸
,開口向下,由
,則
,于是在
上均有
=m
取,即知
,∴當(dāng)
時(shí),命題成立,綜上知,對一切正整數(shù)n,
這就是說該草原上的野兔數(shù)量不可能無限增長 (13分)
考點(diǎn):1函數(shù)的概念;2.二次函數(shù);3.?dāng)?shù)學(xué)歸納法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省衡陽市上學(xué)期高二期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為
,經(jīng)過點(diǎn)
的直線交拋物線于
、
兩點(diǎn),分別過
、
兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線交于點(diǎn)
,則有( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省益陽市高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知是定義在
上的偶函數(shù),且在
上是增函數(shù),設(shè)
,
,
,則
的大小關(guān)系是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省益陽市高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
若為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省益陽市高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù),下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.函數(shù)的最小正周期為2
B.函數(shù)在區(qū)間[0,
]上是增函數(shù)
C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線
=0對稱
D.函數(shù)是奇函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)求的最小正周期;
(2)當(dāng)時(shí),若
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
兩人進(jìn)行乒乓球比,先贏3局者獲勝,決出勝負(fù)為止,則所有可能出現(xiàn)的情形,(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有 ( )
A、10種 B、15種 C、20種 D、30種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(),(
),則△AOB(其中O為極點(diǎn))的面積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知,且
,則
的最小值是_______.
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