①②④
分析:①設f(x)=e
x-ex,求導數(shù),利用導數(shù)的正負與函數(shù)單調性的關系即可證得e
x≥ex;
②分別將區(qū)間(1,2)的兩個端點代入,發(fā)現(xiàn)對應的函數(shù)值一正一負,根據(jù)零點存在定理可得結論;
③要找出點到O的距離大于1的點對應的圖形的面積,并將其和長方形面積一齊代入幾何概型計算公式進行求解.
④利用正切的和角公式變形形式tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)化簡整理即可證得.
解答:①設f(x)=e
x-ex,則設f′(x)=e
x-e,當x≥1時,f′(x)=e
x-e≥0,
故f(x)=e
x-ex,在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴當x≥1時,f(x)≥f(1),即e
x-ex≥0,∴e
x≥ex;
同理,當x<1時,也有e
x≥ex.
∴①?x∈R,e
x≥ex成立.①是正確命題;
②將x
0=1代入:(
-3x0+2)ex0+3x0-4<0,
將x
0=2代入:(
-3x0+2)ex0+3x0-4>0,
故?x
0∈(1,2),使得
成立.②是正確命題;
③已知如圖所示:
長方形面積為2,
以O為圓心,1為半徑作圓,
在矩形內部的部分(半圓)面積為
因此取到的點到O的距離大于1的概率P=
=1-
.
③是不正確命題;
④∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,
∴A,B,C是△ABC的內角,故內角都是銳角,④是正確命題.
其中正確命題的序號是 ①②④.
故答案為:①②④.
點評:本題主要以幾何概型、三角形的形狀判斷、導數(shù)等為平臺,考查了命題的真假判斷與應用,屬于基礎題.