Question

設函數(shù)f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x（x∈R）．
（1）將函數(shù)寫成f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的形式；
（2）在直角坐標系中，用“五點”法作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的大致圖象；
（3）求f（x）的周期、最大值和最小值及當函數(shù)取最大值和最小值時相應的x的值的集合．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：作圖題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2；
（2）利用五點法作出函數(shù)y=2sin（2x+

π

4

）的圖象即可；
（3）由f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，可求得f（x）的周期、最大值和最小值及當函數(shù)取最大值和最小值時相應的x的值的集合．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=2+sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

）+2；
（2）將x、2x+

π

4

、f（x）的取值情況列表如下：

x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
f（x）	2	2+ 2	2	2- 2	2

作圖如下：

（3）∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，∴其周期T=

2π

2

=π；
∴當2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）時，f（x）取得最大值2+

2

；
因此f（x）取得最大值的自變量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；
當2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）時，f（x）取得最小值2-

2

；
因此f（x）取得最小值的自變量x的集合是{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，著重考查五點法作函數(shù)y=2sin（2x+

π

4

）的圖象，考查正弦函數(shù)的周期性與最值，屬于中檔題．