Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）數(shù)列a_n滿足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n），求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列b_n滿足b₁=t＞0，b_n+1=f（b_n）（n∈N*），求數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)的前n項(xiàng)和為S_n，若不等式λ＜S_n對(duì)所有的正整數(shù)n恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，代入得到a_n+1=2a_n+2，兩邊加2化簡(jiǎn)得a_n+2為首項(xiàng)為a₁+2，公比為2的等比數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)，求出a_n即可；
（Ⅱ）將b_n代入到f（b_n）中化簡(jiǎn)b_n+1=f（b_n）得到b_n+1+1=（b_n+1）²，兩邊取對(duì)數(shù)得到lg（b_n+1）的公比為2的等比數(shù)列得到b_n的通項(xiàng)；
（Ⅲ）由c_k+1=b_k²+2b_k，和得到c_k的通項(xiàng)公式，求出前n項(xiàng)的和S_n且在n∈[1，+∞）上是增函數(shù)，求出S_n的最小值為S₁，令λ＜S₁求出λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=2x+2，
∴a_n+1=2a_n+2∴a_n+1+2=2（a_n+2），因?yàn)閍_n+2為等比數(shù)列，∴a_n+2=（a₁+2）2^n-1∴a_n=3•2^n-1-2
（Ⅱ）由已知得b_n＞0，b_n+1+1=（b_n+1）²，
∴l(xiāng)g（b_n+1+1）=2lg（b_n+1），
∴又lg（b₁+1）=lg（t+1）≠0，所以lg（b_n+1）的公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=（t+1）2^n-1-1
（Ⅲ）∵b_k+1=b_k²+2b_k，∴，，k=1，2，n∴=，
∵t＞0，∴t+1＞1，∴S_n在n∈[1，+∞）上是增函數(shù)
∴S_n≥S₁==，又不等式λ＜S_n對(duì)所有的正整數(shù)n恒成立，
∴，故λ的取值范圍是（-∞，
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，會(huì)用數(shù)列的遞推解決問(wèn)題，理解不等式恒成立時(shí)取到的條件．