Question

4．若函數(shù)f（x）=a²x³+ax²-x在[1，3]上不單調(diào)，則a的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$
• B． $（-1，-\frac{1}{3}）$
• C． $（-1，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$
• D． $[{-1，-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{1}{9}，\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在[1，3]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，不能有兩個(gè)相等的零點(diǎn)，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=a²x³+ax²-x
∴f′（x）=3a²x²+2ax-1，
∵若函數(shù)f（x）=a²x³+ax²-x在[1，3]上不是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）=3a²x²+2ax-1=0在[1，3]上有兩個(gè)不等的根，或者在[1，3]上由一個(gè)根，但是不是重根．
即△=4a²+12a²＞0，恒成立．f′（1）f′（3）＜0，可得：（3a²+2a-1）（27a²+6a-1）＜0
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{3a}^{2}+2a-1＞0}\\{27{a}^{2}+6a-1＜0}\end{array}\right.$，解得a∈∅；或$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}+2a-1＜0}\\{27{a}^{2}+6a-1＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈$（-1，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)a的取值范圍，屬于中檔題，解題時(shí)應(yīng)該注意導(dǎo)函數(shù)等于0的等根的情形，以免出現(xiàn)只一個(gè)零點(diǎn)的誤解．