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已知函數f(x)的定義域是(0,+∞),當x>1時,f(x)>0,且f(x•y)=f(x)+f(y)
(1)求f(1);
(2)證明f(x)在定義域上是增函數;
(3)解不等式f[x(x-
1
2
)]<0.
考點:抽象函數及其應用
專題:函數的性質及應用
分析:(1)利用賦值法令x=y=1,即可求f(1);
(2)利用函數單調性的定義即可證明f(x)在定義域上是增函數;
(3)將不等式f[x(x-
1
2
)]<0進行等價轉化,利用函數的單調性進行求解.
解答: 解:(1)令x=1,則f(1×1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0;
(2)設x1<x2,則
∵f(x1)<f(x2),∴f(x1)-f(x2)<0,
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
x2
x1
>1,則f(
x2
x1
)>0,
又f(x•y)=f(x)+f(y),
∴f(x1)+f(
x2
x1
)=f(x2),
則f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在定義域內是增函數.
(3)不等式f[x(x-
1
2
)]<0.
等價為不等式f[x(x-
1
2
)]<f(1).
∵f(x)在定義域內是增函數,
∴x(x-
1
2
)<1,
即2x2-x-2<0,
1-
17
4
<x<
1+
17
4
,
即不等式的解集為(
1-
17
4
,
1+
17
4
).
點評:本題考查了抽象函數的應用,考查了函數的單調性的判斷與證明,訓練了特值法求函數的值,考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力,屬中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

給出下列命題①
a
b
dx=
b
a
dt=b-a(a,b為常數且a<b);②
0
-1
x2dx=
1
0
x2dx;③曲線y=sinx,x∈[0,2π]與直線y=0圍成的兩個封閉區(qū)域面積之和為2,其中正確命題的個數為(  )
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

下列命題中是真命題的為( �。�
A、命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的否命題是“若x2-3x+2=0,則x≠1”
B、命題p:?x0∈R,sin x0>1,則非p:?x∈R,sin x≤1
C、若p且q為假命題,則p,q均為假命題
D、“φ=
π
2
+2kπ(k∈Z)”是“函數y=sin(2x+φ)為偶函數”的充要條件

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知全集U={x|0≤x<6,x∈Z},集合A={1,3,5},B={1,4},則∁UA∪∁UB等于( �。�
A、{1,3,4,5}
B、{0,2}
C、{0,2,3,4,5}
D、{1}

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知一扇形的中心角是α,所在圓的半徑是R,若扇形的周長是一定值C(C>0),該扇形的最大面積為(  )
A、
C
4
B、
C2
4
C、
C2
16
D、
C2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

若命題p的逆命題是q,命題r是命題q的否命題,則p是r的
 
命題.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l的方程為3x-
3
y+2=0,則與l垂直的直線的傾斜角為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

若sinθ
sin2θ
+cosθ
cos2θ
=-1(θ≠
1
2
,k∈Z),則θ是( �。�
A、第一象限角
B、第二象限角
C、第三象限角
D、第四象限角

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=
lg(4-x2)
x+1
的定義域為
 

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